Tracer un carré au compas seul

La construction, au seul compas, de l'hexagone régulier est bien connue de tous dès l'école primaire. Il suit que celle du triangle équilatéral est également triviale par le même moyen :

Celle du carré (c'est à dire ici celle de ses sommets) est moins simple : cherchons à inscrire un carré dans un cercle : ses diagonales doivent être perpendiculaires et cette propriété le caractérise. Et vu que 60 + 30 = 90, voilà une construction relativement simple :

• Tracer un cercle (c) de centre O;

• Construire un hexagone régulier (ses sommets) dans (c) dont on appellera A et C deux sommets diamétralement opposés;

• Les cercles de centres A (resp. C) passant par un sommet consécutif à C (resp. A) se coupent en E et F.

• Avec le compas d'écartement OF (ou OE), tracer le cercle de centre A; il coupe le cercle (c) en B et D.

ABCD est un carré.

Preuve :

Il est clair que (EF) contient O et par suite que ^AOF = 90°. On a AB = OF. Soit r le rayon du cercle. L'usage du théorème de Pythagore montre aisément que OF = r car AF = r, côté du triangle équilatéral inscrit et r est bien la mesure du côté du carré inscrit.

Racine carrée. (Rappels racine carrée de 2 = 1.414 ... racine de 3 = 1.732 ...)